DERET GEOMETRI TAK HINGGA ~ Tri Atmajaya

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Martina menjatuhkan bola bekel dari atas meja setinggi 80 cm. Jelas bahwa bola bekel akan memantul sampai akhirnya berhenti. Pantulan bola pertama pasti lebih tinggi dari pantulan kedua, pantulan kedua lebih tinggi dari pantulan ketiga, dan seterusnya.

Setelah diamati, ternyata setiap kali bola memantul, tingginya menjadi 1/2 kali dari tinggi pantulan sebelumnya. Martina semakin penasaran, kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Apakah kamu ingin membantu Martina? Bagaimana caranya?

Ternyata, Martina bisa menghitung panjang lintasan bola menggunakan deret geometri tak hingga, lho.

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga itu dibagi menjadi 2 jenis yaitu deret geometri tak hingga divergen dan deret geometri tak hingga konvergen. Keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk, kita lihat pengertian dari kedua jenis deret geometri tak hingga tersebut beserta perbedaannya!

1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ……………

Kalau ditanya berapa sih, jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

2. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan deret geometri tak hingga divergen, deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini:

$4+-2+1+-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...$

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana cara menghitung jumlah seluruhnya dari deret geometri tak hingga konvergen?

3. Rumus Stak hingga pada Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya harus bernilai antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif. Contohnya seperti deret di atas. Deret di atas rasionya adalah -1/2 sehingga bisa dihitung jumlah tak hingganya.

Nah, sekarang kita lihat yuk rumus untuk menghitung S_{tak hingga}atau jumlah tak hingganya!

Misalnya kita punya deret geometri tak hingga konvergen:

$4+-2+1+-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...$

Lalu, kita coba cari S_{tak hingga}nya, maka:

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$

$S_{\infty}=\frac{4}{1-(-\frac{1}{2})}$

$S_{\infty}=\frac{4}{1+\frac{1}{2}}$

$S_{\infty}=\frac{4}{\frac{3}{2}}$

$S_{\infty}=4\times\frac{2}{3}$

$S_{\infty}=\frac{8}{3}$

Jadi, S_{tak hingga}darideret geometri tak hingga konvergen tersebut adalah $\frac{8}{3}$ .

“Hmm, Martina ada-ada nih, kenapa juga dia harus menjatuhkan bola dari atas meja?” Eitss, jangan berpikir seperti itu ya. Siapa tahu dengan kamu membantu Martina, pemahamanmu tentang deret geometri tak hingga menjadi semakin baik. Daripada panjang lebar, coba kamu tentukan dulu, apa saja besaran yang diketahui.

Diketahui:

Tinggi meja Martina anggap sebagai a = 80 cm

Pembahasan:

Kira-kira, barisan yang dibentuk oleh pantulan bola bekel milik Martina termasuk konvergen atau divergen ya?

Untuk tahu, coba cek rasionya!

$r=\frac{1}{2}=0,5$

Rasio 0,5 merupakan syarat terbentuknya deret geometri tak hingga yang konvergen. Kamu juga harus ingat bahwa tertulis kata “berhenti”. Apakah artinya? Berhenti merupakan kondisi di mana bola tidak lagi memantul. Setelah bola berhenti, tentu tidak akan ada lagi lintasan yang akan terbentuk.

Pada kondisi semacam ini, kamu akan kesulitan untuk menentukan berapa kali bola akan memantul hingga akhirnya berhenti. Hal yang bisa kamu tentukan adalah panjang lintasan bola mulai awal jatuh menyentuh lantai sampai berhenti. Untuk itu, gunakan persamaan berikut.

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$

Dengan:

a adalah tinggi pantulan awalnya, yaitu 80 cm;

r adalah rasio = 0,5.